Dispersive limits in the homogenization of the wave equation

We address the homogenization of a scalar wave equation with a large potential in a periodic medium (sometime called the KleinGordon équation). Denoting by E the period, the potential is scaled as ~-2. The homogenized limit depends on the sign of the first cell eigenvalue Ai. If Àl = 0, then the homogenized problem is a standard wave equation. If 03BB1 ~ 0, then, upon changing the time scale to focus on large times of order ~-1, we obtain dispersive homogenized problems, i.e. equations which are not of the second order in time. If 03BB1 0, the homogenized equation is parabolic, while for Ai > 0, the homogenized equation is of Schrôdinger type. RÉSUMÉ. Nous étudions l’homogénéisation d’une équation scalaire des ondes avec un fort potentiel dans un milieu périodique (ou équation de Klein-Gordon). Si l’on désigne par E la période, le potentiel est de l’ordre de E-2. Le comportement homogénéisé limite dépend du signe de la première valeur propre 03BB1 du problème de cellule. Si Ai = 0, alors le problème homogénéisé est une équation des ondes usuelle. Si 03BB1 ~ 0, alors, sous réserve de changer l’échelle de temps afin d’observer les grands temps d’ordre E-1, on obtient des limites dispersives, c’est-à-dire des équations homogénéisées qui ne sont pas du deuxième ordre en temps. Si 03BB1 0, l’équation homogénéisée est parabolique, tandis que si 03BB1 > 0, l’équation homogénéisée est du type de Schrôdinger. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Vol. Xll, n4,:zuu3 Pl (*) Reçu le 26 août 2003, accepté le 28 novembre 2003 (1) Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France. E-mail: [email protected]